§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Diviseurs et multiples d'un nombre§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤On dit qu'un entier §font color=blue¤a§/font¤ est un §font color=blue¤diviseur§/font¤ d'un autre entier §font color=blue¤b§/font¤, si on peut trouver un entier §font color=blue¤k§/font¤ tel que§br¤ §font color=blue¤k§/font¤ x §font color=blue¤a§/font¤ = §font color=blue¤b§/font¤. Autrement dit, on peut diviser §font color=blue¤b§/font¤ par §font color=blue¤a§/font¤ §u¤sans reste§/u¤.§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤4§/font¤ est un diviseur de §font color=blue¤28§/font¤ car 4 x §font color=blue¤7§/font¤ = 28§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤La notion de §font color=blue¤divisibilité§/font¤ est utile par exemple pour déterminer la possibilité d'un §font color=blue¤partage équitable§/font¤. On peut aussi l'utiliser en §font color=blue¤géométrie§/font¤ ou pour la §font color=blue¤décomposition§/font¤ d'un nombre.§br¤§br¤§font color=red¤Remarque:§/font¤ Tout nombre est divisible par §font color=blue¤1§/font¤ et par §font color=blue¤lui-même§/font¤.§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤On dit qu'un entier §font color=blue¤a§/font¤ est un §font color=blue¤multiple§/font¤ d'un autre entier §font color=blue¤b§/font¤, si on peut trouver un entier §font color=blue¤k§/font¤ tel que §font color=blue¤a§/font¤ = §font color=blue¤k§/font¤ x §font color=blue¤b§/font¤. Autrement dit, on peut diviser §font color=blue¤a§/font¤ vaut plusieurs fois §font color=blue¤b§/font¤.§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤60§/font¤ est un multiple de §font color=blue¤12§/font¤ car 60 = §font color=blue¤5§/font¤ x 12§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤La notion de §font color=blue¤multiplicité§/font¤ peut être utilisée pour comparer deux grandeurs (le double, le triple, etc ...).§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Si §font color=blue¤a§/font¤ est un diviseur de §font color=blue¤b§/font¤, alors §font color=blue¤b§/font¤ est un multiple de §font color=blue¤a§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤60§/font¤ est un diviseur de §font color=blue¤180§/font¤ car 3 x §font color=blue¤60§/font¤ = 180§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤4§/font¤ n'est pas un diviseur de §font color=blue¤22§/font¤ car 4 x 5 = §font color=blue¤20§/font¤ et 4 x 6 = §font color=blue¤24§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤108§/font¤ est un multiple de §font color=blue¤9§/font¤ car 108 = §font color=blue¤12§/font¤ x 9§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Ensemble des diviseurs d'un nombre§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤Un nombre peut admettre §font color=blue¤plusieurs diviseurs§/font¤. Aussi il est courant de vouloir rechercher l'§font color=blue¤ensemble de tous les diviseurs§/font¤ d'un nombre. Par exemple l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤12§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 3, 4, 6, 12}§/font¤. §br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Un nombre est dit §font color=blue¤premier§/font¤ s'il n'§u¤est divisible que§/u¤ par §font color=blue¤1§/font¤ et §font color=blue¤lui-même§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Rechercher tous les diviseurs d'un nombre est un travail qui peut être §font color=blue¤fastidieux§/font¤, mais il faut faire preuve de §font color=blue¤bon sens§/font¤ pour aller plus vite et sûrement. Voici quelques pistes:§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤le quotient d'un nombre par son diviseur est un autre diviseur§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤4§/font¤ est un diviseur de 12, donc §sup style=font-size:9pt¤12§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤4§/sub¤ = §font color=blue¤3§/font¤ en est un aussi§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤si §font color=blue¤2§/font¤ n'est pas un diviseur, exclure §font color=blue¤tous les nombres pairs§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤essayer §font color=blue¤directement avec les nombres premiers§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤utiliser les §font color=blue¤critères de divisibilité§/font¤ connus (ex: par §font color=blue¤2§/font¤, par §font color=blue¤3§/font¤, par §font color=blue¤5§/font¤, par §font color=blue¤10§/font¤, ...)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤avancer dans l'ordre croissant des diviseurs possibles§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤25§/font¤ est §font color=blue¤{1, 5, 25}§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤17§/font¤ est §font color=blue¤{1, 17}§/font¤, §font color=blue¤17§/font¤ c'est donc un nombre §font color=blue¤premier§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤60§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Diviseurs communs à deux nombres§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Un §font color=blue¤diviseur est commun§/font¤ à deux nombres s'il est §font color=blue¤diviseur de chacun d'eux§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤4§/font¤ est un diviseur commun à §font color=blue¤12§/font¤ et §font color=blue¤20§/font¤, car 4 x §font color=blue¤3§/font¤ = 12 et 4 x §font color=blue¤5§/font¤ = 20§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤Pour rechercher tous les diviseurs communs à deux nombres, on peut§br¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤lister tous les diviseurs de chacun des nombres§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤rechercher l'intersection des deux ensembles obtenus§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤L'usage le plus connu de cette activité est le recherche du §font color=blue¤plus grand commun diviseur§/font¤ de deux nombres. C'est le plus grand des diviseurs communs aux deux nombres proposés, le procédé précédent peut donc permettre de le déterminer (même s'il existe d'autres méthodes pour celà).§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤18§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 3, 6, 9, 18}§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤24§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 4, 6, 12, 24}§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs communs de §font color=blue¤18§/font¤ et §font color=blue¤24§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 6}§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Le PGCD de deux nombres entiers§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Le §font color=blue¤§b¤p§/b¤lus §b¤g§/b¤rand §b¤c§/b¤ommun §b¤d§/b¤iviseur§/font¤ (pgcd) de deux nombres le §font color=blue¤plus grand de tous leurs diviseurs communs§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ Le plus grand commun diviseur de §font color=blue¤18§/font¤ et §font color=blue¤24§/font¤ est §font color=blue¤6§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Lorsque le pgcd de deux nombre vaut §font color=blue¤1§/font¤, on dit qu'ils sont §font color=blue¤premiers§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ §font color=blue¤9§/font¤ et §font color=blue¤14§/font¤ sont premiers car pgcd(9, 14) = 1§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤Pour calculer le pgcd de deux nombres, il existe plusieurs méthodes§br¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤lister tous les diviseurs de chacun des nombres et trouver le plus grand des diviseurs communs§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤utiliser l'algorithme de §font color=blue¤soustractions successives§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤utiliser l'algorithme de §font color=blue¤divisions successives§/font¤ (§font color=red¤Euclide§/font¤)§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Les deux derniers algorithmes utilisent les propriétés suivantes:§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤si §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤a§/font¤ et §font color=blue¤b§/font¤ alors §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤b-a§/font¤, donc §font color=blue¤pgcd(a,b)=pgcd(a,b-a)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤pgcd(18, 24) = pgcd(18, 24-18) = pgcd(18, 6) = pgcd(12, 6) = pgcd(6, 6) = pgcg(6, 0) = 6§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤si §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤a§/font¤ et §font color=blue¤b§/font¤ alors §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤r = a - b x q§/font¤, donc §font color=blue¤pgcd(a,b) = pgcd(b,r)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤pgcg(15, 6) = pgcd(6, 3 §font color=green¤= 15 - 6x2§/font¤) = pgcd(3, 0 §font color=green¤= 6 - 3x2§/font¤) = 3§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Simplification de fractions à l'aide du pgcd§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤Le §font color=blue¤pgcd§/font¤ est très utile pour §font color=blue¤simplifier une fraction au mieux§/font¤. Il s'agit de rendre la fraction §font color=blue¤irréductible§/font¤, c'est à dire qu'on §font color=blue¤ne peut plus la simplifier§/font¤. En effet§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Si on simplifie une fraction §font color=blue¤§sup style=font-size:9pt¤a§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤b§/sub¤§/font¤ par §font color=blue¤pgcd(a, b)§/font¤, on obtient une §font color=blue¤fraction équivalente irréductible§/font¤.§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§sup style=font-size:9pt¤18§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤24§/sub¤ se réduit à §sup style=font-size:9pt¤3§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤4§/sub¤ en simplifiant par pgcd(18, 24) = §font color=blue¤6§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤Rappelons que §font color=blue¤simpifier une fraction§/font¤ consiste à §font color=blue¤diviser§/font¤ son §font color=blue¤numérateur§/font¤ et son §font color=blue¤dénominateur§/font¤ par un §font color=blue¤même nombre§/font¤ (on dira §font color=blue¤"simplier par ..."§/font¤). On peut répéter cette opération de §font color=blue¤simplification plusieurs fois§/font¤ jusqu'à ce que celà ne change plus rien, la fraction devient §font color=blue¤irréductible§/font¤. En utilisant le §font color=blue¤pgcd§/font¤, on y arrive d'§font color=blue¤un seul coup§/font¤.§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§sup style=font-size:9pt¤32§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤24§/sub¤ se réduit à §sup style=font-size:9pt¤4§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤3§/sub¤ en simplifiant par pgcd(32, 24) = §font color=blue¤8§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§sup style=font-size:9pt¤15§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤9§/sub¤ se réduit à §sup style=font-size:9pt¤5§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤3§/sub¤ en simplifiant par pgcd(15, 9) = §font color=blue¤3§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§sup style=font-size:9pt¤15§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤8§/sub¤ est irréductible car pgcd(15, 8) = §font color=blue¤1§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Identités remarquables§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤Les §font color=blue¤identités remarquables§/font¤ sont des égalités très utiles pour §font color=blue¤dévélopper§/font¤ ou §font color=blue¤factoriser§/font¤ des expressions. Il est §font color=blue¤important de les retenir§/font¤ et de s'en servir dans un §font color=blue¤sens comme dans l'autre§/font¤ pour atteindre l'objectif demandé dans un exercice.§br¤§br¤Dans le sens du §font color=blue¤développement§/font¤ d'expression§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤(a - b)(a + b) = a§sup¤2§/sup¤ - b§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ (x - 4)(x + 4) = x§sup¤2§/sup¤ - 4§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ - 16§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤(a + b)§sup¤2§/sup¤ = a§sup¤2§/sup¤ + 2ab + b§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ (x + 5)§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ + (2x5)x + 5§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ + 10x + 25§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤(a - b)§sup¤2§/sup¤ = a§sup¤2§/sup¤ - 2ab + b§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ (x - 1)§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ - (2x1)x + 1§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ - 2x + 1§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Dans le sens de la §font color=blue¤factorisation§/font¤ d'expression§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)(a + b)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ - 25 = x§sup¤2§/sup¤ - 5§sup¤2§/sup¤ = (x - 5)(x + 5)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ + 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a + b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ + 6x + 9 = x§sup¤2§/sup¤ + (2x3)x + 3§sup¤2§/sup¤ = (x + 3)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ - 2x + 1 = x§sup¤2§/sup¤ - (2x1)x + 1§sup¤2§/sup¤ = (x - 1)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§font color=red¤Remarque:§/font¤ a§sup¤2§/sup¤ + 4 §font color=blue¤ne correspond à aucune identité remarquable§/font¤, de même que x§sup¤2§/sup¤ - 3x + 1§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Factorisation directe§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤La factorisation directe consiste à fournir d'§font color=blue¤un seul coup§/font¤ la forme factorisée d'une expression. Ceci s'obtient en se servant des §font color=blue¤identités remarquables§/font¤ où une §font color=blue¤indication particulière§/font¤ (par exemple le §font color=blue¤début de la factorisation§/font¤). On rappelle les §font color=blue¤identités remarquables§/font¤§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)(a + b)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ - 25 = x§sup¤2§/sup¤ - 5§sup¤2§/sup¤ = (x - 5)(x + 5)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ + 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a + b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤x§sup¤2§/sup¤ + 6x + 9 = x§sup¤2§/sup¤ + (2x3)x + 3§sup¤2§/sup¤ = (x + 3)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤x§sup¤2§/sup¤ - 2x + 1 = x§sup¤2§/sup¤ - (2x1)x + 1§sup¤2§/sup¤ = (x - 1)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Il faut noter qu'un des éléments d'une identité remarquable peut être une expression, par exemple si on doit factoriser (a + 1)§sup¤2§/sup¤ - 4, il faudra d'abord considérer §font color=blue¤(a + 1)§/font¤ comme un seul symbole.§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤x§sup¤2§/sup¤ - 16 = x§sup¤2§/sup¤ - 4§sup¤2§/sup¤ = (x - 4)(x + 4)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤(a - 1)§sup¤2§/sup¤ - 4 = (a - 1)§sup¤2§/sup¤ - 2§sup¤2§/sup¤ = [(a - 1) - 2][(a - 1) + 2] = (a - 3)(a + 1)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤a§sup¤2§/sup¤ - 12a + 36 = a§sup¤2§/sup¤ - (2x6)a + 6§sup¤2§/sup¤ = (a - 6)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Factorisation indirecte§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤La factorisation est dite §font color=blue¤indirecte§/font¤ si on arrive à la forme factorisée finale en passant par des §font color=blue¤factorisations intermédiaires§/font¤. Très souvent, il s'agira de§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤factoriser §font color=blue¤directement§/font¤ une partie de l'expression à l'aide d'une §font color=blue¤identité remarquable§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤identifier la §font color=blue¤forme commune§/font¤ aux deux parties de l'expression§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤mettre la §font color=blue¤forme commune§/font¤ en facteur et §font color=blue¤achever la factorisation§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Prenons par exemple l'expression E = a§sup¤2§/sup¤ + 10a + 25 + (a + 5)(a - 2). En utilisant une identité remarquable, on peut factoriser a§sup¤2§/sup¤ + 10a + 25 en (a + 5)§sup¤2§/sup¤. On a donc E = (a + 5)§sup¤2§/sup¤ + (a + 5)(a - 2). La forme commune étant (a + 5), on la met en facteur et on obtient E = (a + 5)[(a + 5) + (a - 2)] = (a + 5)(a + 5 + a - 2) = (a + 5)(2a + 3), on a donc §font color=blue¤E = (a + 5)(2a + 3)§/font¤.§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table border=0 width=100% style=font-family:verdana;font-size:9pt¤§tr¤§td align=right¤x§sup¤2§/sup¤ - 9 + (x - 2)(x + 3) §/td¤§td align=left¤= x§sup¤2§/sup¤ - 3§sup¤2§/sup¤ + (x - 2)(x + 3)§/td¤§/tr¤§br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= (x - 3)(x + 3) + (x - 2)(x + 3)§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= §font color=blue¤(x + 3)§/font¤[(x - 3) + (x - 2)]§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= §font color=blue¤(x + 3)§/font¤[x - 3 + x - 2]§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= (x + 3)(2x - 5)§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤

§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Développer et réduire des expressions littérales§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤D'une manière générale, il faut procéder comme suit pour §font color=blue¤développer§/font¤ et §font color=blue¤réduire§/font¤ (ou encore §font color=blue¤simplifier§/font¤) une expression littérale:§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤développer §font color=blue¤tous les termes entre parenthèses§/font¤, en se servant des identités remarquables si nécessaire§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤regrouper les termes semblables (de même puissance) et les additionner§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤écrire le résultat final par puissances décroissantes§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table border=0 width=100% style=font-family:verdana;font-size:9pt¤§tr¤§td align=right¤(a + 2)§sup¤2§/sup¤ + a(a - 2) + a§sup¤2§/sup¤ + 3 §/td¤§td align=left¤= [a§sup¤2§/sup¤ + (2x2)a + 2§sup¤2§/sup¤] + [a§sup¤2§/sup¤ - 2a] + [a§sup¤2§/sup¤ + 3] §/td¤§/tr¤§br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= a§sup¤2§/sup¤ + a§sup¤2§/sup¤ + a§sup¤2§/sup¤ + 4a - 2a + 3 + 4§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= 3a§sup¤2§/sup¤ + 2a + 7§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤